Kapitel 6: Kreiszahl Pi

Was ist diese Kreiszahl Pi? Wie funktioniert sie? Wie genau ist sie? Wie viele Stellen hat sie hinter dem Komma? Und was meint man damit? Existiert die Kreiszahl Pi nur im Sinn des menschlichen Mathematikers? Oder existiert sie auch außerhalb des Menschen, unabhängig von der Menschheit? Wenn ja: warum? Was haben die Wissenschaftler jetzt darüber herausgefunden?

Peter Mäder ist Professor für Didaktik der Mathematik am Staatlichen Seminar für Schulpädagogik in Freiburg, SW Deutschland. Er sagt in der Zeitschrift bild der wissenschaft, Juni 1993 S. 36, 38, unter der Überschrift "Zahl ohne Ende":

"Es geht um die Nachkommastellen der Kreiszahl (Pi) = 3,141592653... Es sind unendlich viele. Der dieser Zahl zugrundeliegende Sachverhalt scheint ganz einfach zu sein: Wenn wir etwa eine runde Büchse einmal um sich selbst abrollen, stellen wir fest, dass das Verhältnis zwischen dem so ermittelten Umfang der Büchse und ihrem Durchmesser immer gleich groß ist. Diese Zahl liegt zwischen 3,1 und 3,2.

"Der Bruch u/d (Umfang und Durchmesser) wird nach internationalem Brauch mit dem griechischen Buchstaben Pi bezeichnet. Und dieses Pi ermöglicht es uns, den Flächeninhalt des Kreises zu berechnen: A = Pi r² (Flächeninhalt A, Radius r = halber Durchmesser). Die Überprüfung ist schon komplizierter."

"Mehr als 1 Milliarde Zahlen hinter dem Komma, haben Mathematiker entdeckt. Mit dem Computer ausgedruckt, ergibt das einen sechs Meter hohen Stapel Papier. ... Jetzt erst war endgültig gesichert, dass Mathematiker mit Pi nie an ein Ende kommen werden: Es gibt unendliche viele Nachkommastellen hinter dem Komma, und auch eine Periode erscheint nie. Trotzdem hörten die Versuche nicht auf, die Anzahl der errechneten Nachkommastellen in die Höhe zu treiben."

"Computer gaben diesen Bemühungen neuen Auftrieb. 1676 Nachkommastellen (Rechenzeit: vier Stunden und drei Minuten) errechnete man 1959 in Paris, acht Jahre später bereits 500 000 (in 28 Stunden). In Tokio in 1986 dann 16.000.000 Stellen. Anfang 1988 hatte Yasumasa Kaneda in Tokyo 201.326.000 Nachkommastellen von Pi ermittelt. Die Rechenzeit dafür betrug fast sechs Stunden, das Ergebnis füllte 40.266 Druckseiten."

"Die Brüder Gregory und David Chudnovsky übertrafen im Sommer 1989 in New York die Milliarde: 1.001.196.691 Nachkommastellen Pi waren das Ergebnis einer fast dreitägigen Rechenzeit (auf IMB-ES/3090), und der ausgedruckte Papierstapel war nahezu sechs Meter hoch." - Mäder, P. (1993:38).

Pi mit "nur" 262 Stellen hinter dem Komma

Die Kreiszahl Pi hat kein Ende. Prof. Peter Mäder veröffentlichte in bild der wissenschaft, 6/1993 S. 36, 37, Pi mit 262 Stellen hinter dem Komma. Sie hat die folgenden Zahlen hinter der Zahl 3 und ihrem Komma. Ich habe sie in Dreiergruppen aufgeteilt, damit man sie leichter lesen kann:

3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 4..................

David V. Chudnovsky und Gregory V. Chudnovsky, Abteilung für Mathematik an der Columbia Universität, New York, berichten in ihrem Buch Number Theory (Zahlentheorie) (1991:14): "Das Errechnen der Pi (Dezimal) Ausdehnung, und ihre Analyse, hat eine lange menschliche Geschichte... Mit elektronischen Berechnungen von Pi haben schon von Neumann und sein Team begonnen. Die ersten 100.000 Ziffern haben vor beinahe 30 Jahren Shanks und Wrench überschritten. Die erste Million Ziffern haben im Jahr 1973 Guilloud und Bonyer auf CDC 7600 überschritten. Sie benutzten dabei die klassischen Arctan-Formeln für Pi.

"Die zwei Millionen Marke haben im Jahr 1981 Miyoshi und Kanada auf FACOM M-200 und Guilloud überschritten. Dann berechneten Tamura und Kanada in 1982 4 Millionen und 8 Millionen Ziffern der Dezimalausdehnung von Pi und benutzten dabei HITAC M-280H. In 1983 errechneten Kanada und Tamura etwa 16 Millionen Ziffern auf Hitachi S-810. Gospher in 1985 berechnete über 17 Millionen Dezimalstellen von (und ebenso viele Glieder in der fortgesetzten Bruchausdehnung von Pi). Dafür benutzte er nur die SYMBOLICS Arbeitsstation. Dies war der erste moderne Rekord, bei dem man keine Supercomputer-Hardware benutzt hatte. Anfang 1986 berechnete Bailey über 30 Millionen Stellen von Pi und benutzte dabei einen neu konstruierten CRAY 2. Dann in 1987 berechnete Kanada 134 Millionen Ziffern auf dem NEC SX-2 Supercomputer. In 1988 erhöhte Kanada seinen Rekord auf 201 Millionen und benutzte dabei den Hitachi Supercomputer S-820/80.

"Unsere Pi Berechnungen im Dezember 1988. Die Berechnungen auf dem CRAY 2 unternahmen wir beim Minnesota Supercomputer Zentrum in Minneapolis. Die Berechnungen auf IBM 3090 unternahmen wir beim IBM T.J. Watson Forschungszentrum bei Yorktown Heights. Berechnungen wurden in gemeinsam benutzten Anlagen im Laufe von 6 Monaten durchgeführt. Ende Juli 1989 hatten wir über 1.011.000.000 Ziffern von π auf IBM-3090 VF berechnet. Wir beendeten unsere Berechnungen im September 1989, als wir όber 1.130.000.000 Dezimalstellen von Pi erreicht hatten. Diese letzten Berechnungen haben wir beim T.J. Watson IBM Forschungszentrum, Yorktown Heights, auf IBM-3090/200 und IBM-3090/600 durchgeführt. Die größte veröffentlichte japanische Berechnung von Pi stammt von Kanada. Er hat 1.73.741.799 Stellen auf S-820-80 erreicht (November 1989)." - Chudnovsky, D. und G. (1991:14).

Pi: Wie Genau

Wie genau ist die Kreiszahl Pi? Wie genau ist Pi, wenn man nur 4 Dezimalstellen hinter dem Komma benutzt, 10 Stellen, 15 Stellen und 100 Stellen hinter dem Komma?

Heinrich Tietze ist Professor für Mathematik an der Universität von München, Süddeutschland. Er schreibt in seinem Buch Gelöste und ungelöste Mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit (1980:112) über die Kreiszahl Pi:

"Was weiß man nun über diese Zahl Pi? Also über dieses Verhältnis einer Kreisfläche zur Quadratfläche mit dem Radius als Seite? Ein Verhältnis, von dem man zeigen kann, dass es zugleich bei jedem Kreis das Verhältnis des Kreisumfangs zum Kreisdurchmesser ist."

"Um den Umfang eines Kreises auf 1 Millimeter genau zu bekommen, genügen 4 Dezimalen, wenn der Radius 30 Meter (oder weniger) beträgt. Wenn der Radius so groß ist wie der Erdradius ist, genügen 10 Dezimalen. Und wenn man einen Kreis nimmt, dessen Radius so groß ist, wie der Abstand der Erde von der Sonne, und man will den Kreisumfang auf Millimeter genau haben, so sind 15 Dezimalen von Pi ausreichend.

"Um zu demonstrieren, welche unfassbar große Genauigkeit mit 100 Dezimalen der Zahl Pi erreichbar ist, ist einmal folgende Aufgabe betrachtet worden: Man nehme eine Kugel, in deren Mitte unsere Erde liege und die bis zum Sirius reiche (das Licht, das 300.000 km in der Sekunde zurücklegt, braucht bis dorthin etwa 8 3/4 Jahre); man fülle diese Kugel mit Bazillen, so dass auf jeden Kubikmillimeter eine Billion = 1.000.000.000.000 Bazillen (10¹²) kommen.

"Man stelle nunmehr alle diese Bazillen auf einer geraden Linie so auf, dass die Entfernung vom ersten Bazillus zum zweiten so groß ist wie die Entfernung Erde-Sirius; ebenso groß sei die Entfernung vom zweiten zum dritten Bazillus, vom dritten zum vierten usw. Die Entfernung vom ersten zum letzten Bazillus nehme man als Radius eines Kreises. Berechnet man dann den Umfang dieses Kreises, indem man 100 Dezimalen der Dezimalbruchentwicklung von Pi benutzt (höhere Dezimalen also unberücksichtigt lässt), dann wird - trotz der ungeheuren Größe des Kreises - der bei der Berechnung des Umfangs begangene Fehler immer noch kleiner ausfallen als ein Zehnmillionstel eines Millimeters." - Tietze, H. (1980:113).

Heutiges Universum: Seine Größe

Unser Universum ist jetzt etwa 12 Milliarden Jahre alt. Deshalb hat es jetzt einen Radius von 12 Milliarden Lichtjahren und einen Durchmesser von 24 Milliarden Lichtjahren, bis zu seinem "Kosmischen Horizont", gemäß Prof. L. M. Krauss (1999:40).

Bei 100 Dezimalstellen hinter dem Komma von Pi wird der Umfang dieses Kreises dann einen Fehler von weniger als 10/1.000.000 mm haben. - Was beweist das? - Das beweist mir, daί die Kreiszahl Pi einen Kreis machen kann, mit einem Radius, der unser ganzes heutige physikalische Universum umfasst. Dieser Kreis, dessen Umfang einen Fehler von weniger als 10/1.000.000 mm (bei 100 Stellen hinter dem Komma) hat, enthält unser ganzes Universum.

Noch genauer

Wenn wir 100 Dezimalstellen hinter dem Komma von Pi benutzten, wird der Fehler, wenn er den Umfang dieses Kreises errechnet, weniger als 10/1.000.000 mm = 0,000.000.1 betragen. - Wie groß wird der Fehler sein, wenn wir noch mehr Dezimalstellen hinter dem Komma benutzen? - Ich habe über 10.000 Stellen hinter dem Komma von Pi errechnet, um das herauszufinden:

Bei 101 Dezimalstellen hinter dem Komma von Pi wird der Fehler, wenn er den Umfang dieses großen Kreises errechnet (der des ganze Universums enthält), 1,10^-08 mm betragen. - Bei 102 Dezimalstellen hinter dem Komma von Pi wird der Fehler, wenn er den Umfang dieses Kreises errechnet, 1,10^-09 mm betragen, und so weiter. Das bedeutet: Mit jeder Dezimalstelle hinter dem Komma von Pi wird der Fehler, den Pi beim Errechnen dieses großen Kreises macht, 1/10 kleiner sein.

Wenn Pi 200 Dezimalstellen hinter dem Komma benutzt, wird ihr Fehler, den sie beim Errechnen des Kreisumfanges macht, weniger als 10^-106 mm sein. Bei 500 Dezimalstellen hinter dem Komma von Pi, wird der Fehler beim Errechnen des Kreisumfanges weniger als 10^-406 mm betragen.

Bei 1.000 Dezimalstellen hinter dem Komma von Pi wird der Fehler, den sie beim Berechnen des Kreisumfanges macht, dann 10^-906 mm betragen. - Bei 2000 Dezimalstellen hinter dem Komma von Pi wird der Fehler, den sie beim Berechnen des Kreisumfanges macht, dann weniger als 10^-1754 mm sein.

Wenn Pi 5.000 Dezimalstellen hinter dem Komma benutzt, wird der Fehler weniger als 10^-4833 mm betragen. - Wenn Pi 8.000 Dezimalstellen hinter dem Komma benutzt, wird der Fehler weniger als 10^-8084 mm betragen.

Wenn Pi 10.000 Dezimalstellen hinter dem Komma benutzt, wird der Fehler, den sie beim Errechnen dieses Kreisumfanges macht, weniger als 10^-10003 mm betragen. Das heißt, wenn sie den Umfang des Kreises berechnet, der unser ganzes physikalisches Universum umfasst.

Ergebnis: Die Kreiszahl Pi (3,131.592.653.....) bestimmt das Verhältnis vom Umfang des Kreises zu seinem Durchmesser. Pi hat eine unendliche Anzahl von Dezimalstellen hinter dem Komma. Bis Ende Juli 1989 haben Mathematiker 1.130.000.000 Dezimalstellen von Pi bestimmt. - Wie genau arbeitet Pi?

Pi: Sein Informationsgehalt

Die Kreiszahl Pi = 3,131 592 653... ist eine endlose Zahl (vom menschlichen Gesichtspunkt). Und eine Periode (= eine gleiche Reihe von Zahlen) erscheint nie in ihr. Im November 1989 erreichte Japans Kanada 1.073.741.799 Ziffern. Und im September 1989, erreichten David und Gregory Chudnovsky, an der Kolumbia Universität, New York, über 1.130.000.000 Ziffern von Pi.

Schauen wir uns noch kurz die über 1.130.000.000 Dezimalstellen von Pi an, die man in New York errechnet hat. - Was wir jetzt herausfinden möchten: Was braucht man, um sich diese Zahl auszudenken, und um jede einzelne Ziffer an die richtige Stelle zu setzen, in der richtigen Reihenfolge? Wir möchten hier nicht einfach nur herausfinden, wie viele Dezimalstellen dort hinter dem Komma stehen. Wir möchten jetzt herausfinden, wie viel man wissen muss, damit jede dieser Stellen hinter dem Komma an ihrer richtigen Stelle steht. Anders ausgedrückt: Was sind ihre Sequenzalternativen?

Man braucht nur 4 Dezimalstellen von Pi, um den Umfang eines Kreises bis auf 1 mm genau zu bestimmen, wenn der Radius 30 m (oder weniger) beträgt. Wenn der Kreis so groß ist wie der Radius der Erde, werden 10 Dezimale genügen, um den Umfang dieses Kreises bis auf 1 mm genau zu bestimmen. Und wenn der Radius des Kreises so groß ist wie die Erde von der Sonne entfernt ist, werden 15 Dezimale von Pi genügen, seinen Umfang bis auf 1 mm genau zu bestimmen.

100 Dezimale von Pi werden den Umfang eines Kreises bestimmen, der unser ganzes physikalisches Universum enthält, mit seinem Durchmesser von 24 Milliarden Lichtjahren, und zwar mit einem Fehler von weniger als 10/1.000.000 mm. Wenn man 10.000 Dezimalstellen von Pi benutzt, wird der Umfang des Kreises einen Fehler von weniger als 10^-10003 mm haben.

1.000.000.000 (10⁹) Dezimale von Pi, hinter dem Komma, haben 10⁶⁰⁰ Millionen Reihenfolge-Alternativen, und ebenso viele Bit Information. Mit anderen Worten: 10⁶⁰⁰ Million Bit Information hat man gebraucht, um die ersten 1.000.000.000 Stellen hinter dem Komma von Pi in der richtigen Reihenfolge aufzustellen.

Bernd-Olaf Küppers (1986:96), ein führender deutscher Evolutionist, benutzt nur ca. 10⁹ Nukleotid-Paare, wenn er die Reihenfolge-Alternativen des menschlichen Genoms (DNS-Kette) berechnet . – Wie viel musste man wissen? Wie viel Information war nötig, um den genetischen Code des Menschen zu erdenken und zu erschaffen?

Bernd-Olaf Küppers berichtet: Das Genom des Menschen, mit ca. 10⁹ (= 1.000.000.000) Nukleotiden, hat 10⁶⁰⁰ Millionen Reihenfolge-Alternativen. Das ist ein 1 mit 600 Millionen Nullen. Und jede dieser Reihenfolge-Alternativen ist eine "ja" oder "nein" Entscheidung, oder 1 Bit Information. Das bedeutet: 1.000.000.000 Dezimalstellen der Kreiszahl Pi haben ebenso viele Bit Information, wie die DNS-Kette des Menschen, wenn wir hier von nur 1.000.000.000 Nukleotid-Paaren ausgehen. Wir sollten hier bedenken: Es gibt nur etwa 10⁷⁸ Wasserstoffatome im ganzen wahrnehmbaren Universum!

Pi macht die Kreise und die Kugeln des Makrokosmos, der Atome, Kerne und wechselwirkenden Teilchen. Sie macht sie sofort, und zwar über Milliarden von Lichtjahren hinweg. Pi ist eine universale Konstante. Sie macht und erhält die räumliche und zeitliche Ordnung des Universums. Sie verändert sich nicht mit der Zeit. Die Kreiszahl Pi existiert unabhängig vom Menschen. Der Mensch hat sie nur gefunden, nicht erfunden. Und hat sie etwas verstanden. Er hat sie nicht gemacht. Es gibt sie schon etwa 12 Milliarden Jahre lang. Ihre Mathematik entstammt einer nicht-materiellen, geistigen Quelle: dem Schöpfer. Sie widerlegt eindeutig die Lehre der Evolution.